Lý thuyết liên thông - phần kiến thức bổ sung

1. TRƯỜNG VECTƠ

1.1 Khái niệm về trường vectơ.

Cho $M$ là một đa tạp khả vi $m$ chiều thuộc lớp $C^k, k \geqslant 1$. Sau này ta sẽ gọi tắt $M$ là một đa tạp khả vi $m$ chiều. $TM$ là phân thớ tiếp xúc của đa tạp $M$ và $U$ mở trong $M$.

Trường vectơ khả vi trên $M$ là một ánh xạ khả vi $X:M \rightarrow TM$ sao cho $\pi.X(p)=p\ \forall p \in M$. Ta đã ký hiệu $\pi.X$ chính là $\pi \circ X$ trong đó $\pi$ là phép chiếu của phân thớ tầm thường địa phương $(TM,\pi,M)$, nghĩa là $\pi ( v)=p$ nếu $ v \in T_pM$.

Tập hợp các trường vectơ khả vi trên $M$ được ký hiệu là $ V(M)$.

Giả sử $(U,x)$ là một bản đồ địa phương trên $M$ thì $X|_U$ là hạn chế của trường vectơ $X$ trên $U$ được biểu diễn ở dạng $$X|_U=\sum_{i=1}^{m}\alpha^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}$$

trong đó $\alpha^i$ là các hàm số xác định trên $U$ bởi $\alpha^i(p)=X_p(x^i)$ và
$\left\{\left(\dfrac{\partial}{\partial x^i}\right), i=1,2,\dots ,m\right\}$ là các trường vectơ trên $U$.


1.2 Móc Lie của hai trường vectơ

Với mỗi trường vectơ khả vi $X \in V(M)$ và với mỗi hàm khả vi $f$ thuộc lớp $C^r$ trên $M$ ta xác định hàm $Xf$ thuộc lớp $C^{r-1}$ trên $M$ như sau:
Với mỗi $p\in M$ đặt $(Xf)(p)=X_p(f)=\dfrac{d}{dt}\left(f \circ c(t)\right)\Big|_{t=0}$, ở đây $X_p=[c]$.


Cho hai trường vectơ khả vi $X, Y$ trên $M$, ta định nghĩa móc Lie $[X,Y]$ như sau: $$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)$$ với mọi $f$ là hàm khả vi thuốc lớp $C^r$ trên $M$. $[X,Y]$ là một trường vectơ trên $M$. Biểu diễn địa phương. Nếu $X=\displaystyle \sum_{i}\xi^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}\ , \ Y=\displaystyle \sum_{j}\eta^j\dfrac{\partial}{\partial x^j}$ thì $$[X,Y]f=\sum_{k,j}\left(\xi^k.\left(\dfrac{\partial \eta^j}{\partial x^k}\right)-\eta^k.\left(\dfrac{\partial \xi^j}{\partial x^k}\right)\right)\dfrac{\partial f}{\partial x^j}$$ Nhận xét: $\displaystyle \left[\dfrac{\partial}{\partial x^i},\dfrac{\partial}{\partial x^j}\right]=0$